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試題分析

（一）知識全面，比例均衡

本套試題總分120分，考試時間120分鐘。

試題分選擇題、填空題、解答題三類。

結構與2020年的試題相比略有變化：選擇題依然前10個每題3分，后6個每題2分，共42分；填空題由2019年的3題5空（1+1+3）12分（3+3+6），變?yōu)?題6空（2+2+2）12分（4+4+4）；解答題仍是7題66分（8+8+9+9+10+10+12）。

具體考查內容與2020年試題對比如下表：

試題幾乎涵蓋了初中數(shù)學所有知識點，其中數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率所占比例約為5:4:1，與教學所占課時分配大致相當。

試題按難易程度分容易題、中等題、較難題，所占分值比例約為3:5:2，整套試題難度系數(shù)約為0.65。

（二）注重基礎，梯度分明

試題由易到難，梯度明顯。

選擇題中，1～5題是對基本的數(shù)學概念、代數(shù)運算法則的考查。

第6題考查了空間想象，7題平行四邊形的判定定理，8題利用相似計算，9題三次根式的加減運算，10題利用對正六邊形的分割求面積。這些相較前5題略微綜合，對學生的能力要求稍高，但也是對基礎知識的考查。

第11題利用數(shù)軸考查了線段的等分，包含了相反數(shù)、絕對值、數(shù)值大小的比較等知識。12題借兩點間距離范圍考查了線段垂直平分線及三角形三邊關系等知識。13題考查了基本定理的證明，其中又滲透了特殊與一般的辯證關系。14題考查的是統(tǒng)計圖，里面包含的邏輯推理也是一個難點。15題考查的是比較大小的基本方法——作差法，里面又涉及到分類討論。這些題目更綜合，更是對知識與能力的綜合考評。16題作為選擇題的壓軸題，其綜合性更強，通過作圖，考查了找圓心的方法，矩形的判定、扇形面積的求法，以及分類討論思想，難度較大。

填空題中，每題都有兩個空，前者基礎，后者綜合。無論從閱讀理解題意上，還是知識結構，都呈現(xiàn)梯度變化。

七道解答題布局亦是由易到難，從數(shù)與式的運算，基本的概率知識，到基礎的一次函數(shù)應用，簡單幾何證明，再到二次函數(shù)應用，最后是圖形探究，難度逐漸加大，知識愈加綜合。并且每道試題的幾個設問之間也是前后遞進，在思維延伸與結論繼承同時，給考生多種解題方案供選擇。

（三）能力體現(xiàn)，思維考評

人們在工作、學習、生活中每逢遇到問題，總要“想一想”，這種“想”，就是思維。2021年河北省中考試題延續(xù)了之前的風格，將思維的考查體現(xiàn)的淋漓盡致。

如第10題，解決該問題思維過程兩個步驟：

先判斷面積是否為定值，然后計算其大小。

由正六邊形性質可知

AF=EF=DE=CD，

∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°，

所以∠DFE=∠FDE=30°，

∠AFO=∠CDO=90°，

所以，正六邊形的邊長為定值。

求正六邊形的面積有多種方法可以選擇，如圖1-1到圖1-4：

這道題目包含了正多邊形、矩形、等腰三角形、三角函數(shù)等知識，對學生的知識基礎要求較高，思維含量較大。

重點考查了學生的邏輯思維、推理思維和轉化思維，并且給學生留出了充分的思維空間。

再如第19題以反比例函數(shù)為載體，考查的不僅僅是反比例函數(shù)知識。思維的考查主要體現(xiàn)在問題（2）。

我們知道，函數(shù)圖象與坐標系緊密相關，坐標系確定了，函數(shù)圖象也就確定了。這里將坐標系的單位長度變小，在固定的視窗中看到的函數(shù)圖象相對視窗也變小了。而這個大小變化過程中，原點位置是不發(fā)生變化的。

不難發(fā)現(xiàn)，這其實是一個關于原點O的位似變化。理解了這一層關系，該問題就容易解決了。當時，點A坐標為（-50,0），當時，點B坐標為（-40,0）。

如圖2，若令視窗為參照標準，以變化前的坐標系給視窗賦予數(shù)據(jù)，該問題變?yōu)榱藢⒎幢壤瘮?shù)AB間的函數(shù)圖象經位似變化，使其落在及范圍內。故變化后與變化前的位似比滿足，求得整數(shù)k＝4。問題的解決只是用到了相似比，但重要的是解決之前的思考。解題需要考生想象出這個變化的過程，從變化的過程出分析出不變的規(guī)律，再中抽象出數(shù)學模型，最后用數(shù)學知識求解。這中間包含了大量的思維活動。、

這也印證了河北中考題的特點：思考量大，書寫量小。

這道試題是以用繪圖軟件對圖象的大小變化探究為背景進行命制的，其實我們對這個背景非常熟悉。

如圖，在用手機看照片時，用兩個手指在屏幕上滑動，照片就相應變大或縮小，這其實就是一個位似變化模型。該題目也從反映了中考試題源于生活。

（四）貼近生活，注重應用

試題注重理論聯(lián)系實際，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，并讓學生感悟到數(shù)學的應用之美。

理論聯(lián)系實際的試題，體現(xiàn)現(xiàn)代社會生產生活等方面的特點，有機滲透數(shù)學建模、邏輯推理、概率計算等數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學思想方法的應用，對教學和育人具有積極的意義。在教學過程中，我們不僅要培養(yǎng)學生解題能力，更要注重從“解題”到“解決問題”的意識轉換。

如第8題，利用酒杯中液體高度考查了相似的性質；第18題借助“躺椅”的調節(jié)，考查了基本幾何知識——角度的運算。

以相關實際問題為背景的題目還有第14、23題等。在第22題在參觀博物館的情景中，對概率知識（尤其是求概率的方法）進行了考查。

（五）試題生長，結構傳承

河北省中考試題的延續(xù)性，主要體現(xiàn)在試題的生長和結構的傳承。

如第23題，試題的實際背景很新穎，但其數(shù)學結構我們都非常熟悉。問題（1）（2）都是對函數(shù)圖象的解析式進行考查，問題（3）難度略大。

如圖4-1，由于點Q一直在點P的正下方，故P、Q可以看成是一條與x軸垂直的動直線與兩函數(shù)圖象的交點。兩機距離不超過3km，即兩點的縱坐標之差不超過3。在這個基礎上，我們可以將兩函數(shù)圖象l1，l2進行置換，這樣試題就可以“生長”了！

如圖4-2，可以將l1、l2換成拋物線和直線（2019。26題）；如圖4-3，可以將與x軸垂直的直線換為與y軸垂直的直線（2020。24題）。無論試題怎樣“生長”，其數(shù)學本質是不變的。該試題數(shù)學本質是研究在不同的函數(shù)圖象上具有橫坐標（或縱坐標）相同的點，其縱坐標（或橫坐標）的關系。

（六）素養(yǎng)落地，教學引領

我們在教學過程中，要關注學生的“四基”，要注重培養(yǎng)學生的“四能”，要讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)落地。

檢驗這些要求落實情況，離不開優(yōu)秀的測試試題。數(shù)學素養(yǎng)不僅僅是指數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等能力。更多的是表現(xiàn)在解決問題時選擇的方式策略方面。遇到的問題可以是數(shù)學問題，也可以是生活問題，選擇的解決方式是否快捷與自身的數(shù)學素養(yǎng)有很大關系。2021年的中考試題中，不僅壓軸題能反應學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)，在一些小題中，對學生數(shù)學素養(yǎng)的考查也很到位。

如第14題，解決該問題需要對比兩種圖表，然后進行數(shù)據(jù)分析。通過扇形圖可以發(fā)現(xiàn)藍色所占比例最小，對應條形圖中是最低一列，5人。進而通過數(shù)學運算得出樣本的容量為50。接著利用扇形圖中的數(shù)學計算得出喜歡紅色的有14人，這樣有三組人數(shù)確定，分別為：16，14，5，剩余的一組人數(shù)是15人。發(fā)現(xiàn)喜歡紅色的有14人，從多到少為第三組，恰為問題答案。但是在解決問題的過程中，并不需要去計算每一組的具體人數(shù)，而是對所求的目標直接進行邏輯推理，這就是一種數(shù)學素養(yǎng)。